Определение расстояния от точки до плоскости с помощью объемов

Определение расстояния от точки до плоскости с помощью объемов

04.06.2021 Выкл. Автор admin

Сегодня рассмотрим несколько задач, где необходимо найти расстояние от точки до плоскости. Для этого будем использовать метод объемов.
// // Задача 1. Высота правильной четырехугольной призмы равна 8, а сторона основания равна . Найдите расстояние от вершины до плоскости .
Решение:
К задаче 1
Искомое расстояние – высота пирамиды , опущенная из вершины . Нам даже не надо ее с троить или знать, в какую точку она придет. Нам нужен только объем пирамиды и площадь треугольника . Определяем объем пирамиды . Ее основание – треугольник , объем будет равен

С другой стороны, объем этой пирамиды равен

Тогда

Треугольник – равнобедренный. Его основание (по Пифагору), а высоту мы найдем из треугольника :

Таким образом, , ,

Ответ: 4,8.
// //
Задача 2. Основанием прямой призмы является ромб , . Высота призмы равна 6. Найдите расстояние от центра грани до плоскости .
Решение:
К задаче 2
Искомое расстояние – высота пирамиды , опущенная из вершины . Нам даже не надо ее с троить или знать, в какую точку она придет. Нам нужен только объем пирамиды и площадь треугольника . Определяем объем пирамиды . Ее основание – треугольник , объем будет равен

Прямая перпендикулярна плоскости , так как она принадлежит плоскости , которая перпендикулярна плоскости .
Чтобы найти объем пирамиды  , вырежем ее из половины призмы . Объем данной призмы равен

Отрезаем от нее две одинаковые по объему пирамидки и .

Также надо отрезать пирамиду (снизу, под плоскостью). Ее объем равен

К задаче 2 – отсеченные объемы
Таким образом, объем равен

С другой стороны, объем этой пирамиды равен произведению площади треугольника на и высоту, опущенную на треугольник из точки .

Определим площадь . Его основание равно 12, а высота может быть найдена из прямоугольного треугольника :

Искомое расстояние

Ответ: 4,8.
// //
Задача 3. В правильной четырехугольной призме сторона основания равна ,  а высота равна 1 . – середина . Найдите расстояние от точки до плоскости .
Решение: определим искомое расстояние как расстояние от точки до плоскости. Проведем через точку прямую, параллельную .
К задаче 3
Точка – центр призмы и лежит на середине отрезка . Так как прямая параллельна плоскости, то любая ее точка равноудалена от нее. Рассмотрим треугольник . Сделаем выносной чертеж. В нем искомое расстояние – . Из подобия треугольников и

Так как сторона основания равна , то диагональ основания равна 2. А . По условию , .

Ответ: .