Сегодня рассмотрим несколько задач, где необходимо найти расстояние от точки до плоскости. Для этого будем использовать метод координат.
// // Задача 1. В правильной четырехугольной призме со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре взята точка так, что . На ребре взята точка так, что .
Найдите расстояние от точки до плоскости .
Решение: введем систему координат с началом в точке . Ось направим вдоль прямой , ось – вдоль , ось – вверх. Для того, чтобы определить искомое расстояние, понадобится уравнение плоскости – а значит, координаты точек , , , и координаты точки .
К задаче 1
Записываем координаты:
   
   
   
   
Система координат в задаче 1
Теперь, чтобы получить уравнение плоскости, подставим координаты точек , , в общее уравнение плоскости: :
   
Имеем: , подставим это в первое уравнение:
   
   
А теперь в третье:
   
   
Мы получили все коэффициенты в уравнении плоскости, только они выражены через . Так как плоскость не проходит через начало координат, можно принять . Тогда
   
   
   
И нам осталось определить расстояние по формуле:
   
Где – координаты точки .
   
   
   
   
Ответ:
// //  
Задача 2. На ребрах и куба с ребром 12 отмечены точки и соответственно, причем , а . Плоскость пересекает ребро в точке .
Найдите расстояние от точки до плоскости .
Решение: введем систему координат с началом в точке . Ось направим вдоль прямой , ось – вдоль , ось – вверх. Для того, чтобы определить искомое расстояние, понадобится уравнение плоскости – а значит, координаты точек , , , и координаты точки .
К задаче 2
Записываем координаты:
   
   
   
   
Теперь, чтобы получить уравнение плоскости, подставим координаты точек , , в общее уравнение плоскости: :
   
Так как плоскость проходит через начало координат, можно принять . Тогда
   
   
Следовательно,
   
Можно умножить все коэффициенты в уравнении плоскости на 12, тогда получим .
И нам осталось определить расстояние по формуле:
   
Где – координаты точки .
   
   
// // Ответ:  .