И снова шахты! Опыт показал, что не у всех эти задачи идут «на ура». Поэтому решаем еще.
// // Задача 1. В двух областях есть но 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи кг никеля в день требуется человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произнести завод?
Решение. И в первой области, и во второй мы располагаем 500 человеко-часами трудового ресурса. Со второй областью все ясно: пусть там добывают кг алюминия и тратят на это человеко-часов, и аналогично с никелем: добывают кг, тратят часов. Тогда для второй области
Пусть в первой области тратят часов на добычу алюминия, тогда его добывают кг. Тогда на добычу никеля уходит часов, и его добывают кг.
Всего в обеих областях добывают алюминия: кг, никеля: кг. А в производимом сплаве отношение масс алюминия и никеля . То есть
Получили уравнение, выразим из него .
Теперь вспомним о цели задачи: максимально увеличить массу сплава. А масса сплава втрое больше массы алюминия:
Подставим :
Из уравнения, составленного самым первым, выразим :
Тоже подставим в массу сплава:
Чтобы найти экстремум, возьмем производную:
Тогда , , следовательно, на первой шахте добывается 20 кг алюминия, а сплава всего выходит 90 кг.
Ответ: 90 кг.
// //
Задача 2. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи кг никеля в день требуется человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произнести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
Решение. И в первой области, и во второй мы располагаем 1000 человеко-часами трудового ресурса. Со второй областью все ясно: пусть там добывают кг алюминия и тратят на это человеко-часов, и аналогично с никелем: добывают кг, тратят часов. Тогда для второй области
Пусть в первой области тратят часов на добычу алюминия, тогда его добывают кг. Тогда на добычу никеля уходит часов, и его добывают кг.
Всего в обеих областях добывают алюминия: кг, никеля: кг. А в производимом сплаве отношение масс алюминия и никеля . То есть
Получили уравнение, выразим из него .
Теперь вспомним о цели задачи: максимально увеличить массу сплава. А масса сплава втрое больше массы никеля:
Подставим :
Из уравнения, составленного самым первым, выразим :
Тоже подставим в массу сплава:
Чтобы найти экстремум, возьмем производную:
Тогда , , следовательно, на первой шахте добывается 150 кг алюминия, а никеля – 80. Сплава всего выходит 240 кг.
Ответ: 240 кг.
// //
Задача 3. В двух областях есть по 130 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля. Во второй области для добычи кг алюминия в день требуется человеко-часов труда, а для добычи кг никеля в день требуется человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производился сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 3 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
Решение. И в первой области, и во второй мы располагаем 1300 человеко-часами трудового ресурса. Со второй областью все ясно: пусть там добывают кг алюминия и тратят на это человеко-часов, и аналогично с никелем: добывают кг, тратят часов. Тогда для второй области
Пусть в первой области тратят часов на добычу алюминия, тогда его добывают кг. Тогда на добычу никеля уходит часов, и его добывают кг.
Всего в обеих областях добывают алюминия: кг, никеля: кг. А в производимом сплаве отношение масс алюминия и никеля . То есть
Получили уравнение, выразим из него .
Теперь вспомним о цели задачи: максимально увеличить массу сплава. А масса сплава в 2,5 раза больше массы алюминия:
Подставим :
Из уравнения, составленного самым первым, выразим :
Тоже подставим в массу сплава:
Чтобы найти экстремум, возьмем производную:
Тогда , , следовательно, на первой шахте добывается 1200 кг алюминия, а никеля – 1800. На второй шахте добывают 200 кг алюминия, и 300 никеля. Сплава всего выходит 3500 кг.
Ответ: 3500 кг.