Разбираю задачи, которые летом решали с группой ребят-олимпиадников.
// // Задача 1. На свободно вращающиеся обода двух колес, центры которых лежат на одной вертикали, а оси закреплены горизонтально и параллельны, натянута легкая шероховатая нерастяжимая нить, концы которой прикреплены к грузу массой , удерживаемому вблизи верхнего обода.
К задаче про два обода
Толщина обода много меньше его радиуса, а масса обода много больше массы спиц и втулки колеса, и равна . С каким ускорением будет двигаться груз после его освобождения до момента касания нижнего обода?
Решение. Нить, будучи шероховатой, не скользит по ободам, а так как она нерастяжима – то скорости точек обода, всех точек нити и груза одинаковы.
Груз после отпускания придет в движение и будет двигаться с некоторым ускорением. Если рассмотреть малый промежуток времени , то ускорение можно считать постоянным. А скорость за этот промежуток времени вырастет на .
Тело пройдет расстояние
Так как – величина второго порядка малости, то вторым слагаемым пренебрежем.
Опустившись на такое расстояние, груз потеряет в потенциальной энергии:
И эта убыль компенсируется прибылью кинетической энергии. Если скорость тела в некоторый момент равна , и от этого момента начинает прирастать скорость (то есть от этого момента отсчитывается время ), то в начале отсчета времени энергия системы состоит из кинетической энергии ободов и груза.
Разобьем обод на маленькие части массами . Тогда каждый кусочек имеет скорость , и
Это кинетическая энергия ободов.
А к концу отсчета времени энергия
Изменение кинетической энергии
Слагаемым пренебрежем, так как оно много меньше остальных.
Приравняем убыль потенциальной и прибыль кинетических энергий:
Ускорение
Ответ: .
// //
Задача 2. Отношение минимальной силы, которую надо приложить к бруску, чтобы он двигался вверх по наклонной плоскости к минимальной силе, которую надо приложить к бруску, чтобы оторвать его от этой наклонной плоскости равно 0,7. Угол наклона плоскости к горизонту . Определите коэффициент трения между бруском и плоскостью.
Решение.
Условие отрыва – равенство нулю силы реакции опоры.
Силу надо прикладывать перпендикулярно плоскости, чтобы брусок оторвать. Она будет равна .
К задаче про брусок
Куда надо прикладывать силу, чтобы сдвинуть брусок и чтобы сила была при этом минимальна? Я предположила, что под некоторым углом .
Подставим :
Обратим внимание, что числитель выражения – константа, от угла не зависит. Значит, минимум будет при максимальном знаменателе. Определим его максимум при помощи производной:
При таком тангенсе определяем синус и косинус из прямоугольного треугольника:
Значит, равна
Отношение сил:
Обозначим , и решим квадратное уравнение:
Ответ: .
// // Задача 3. Тонкий однородный жесткий стержень скользит по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. В начальный момент времени нижний конец стержня движется вниз вдоль наклонной плоскости (по линии «падения воды», как указано стрелкой), а верхний конец стержня движется горизонтально, причем модуль скорости верхнего конца в два раза больше, чем нижнего.
К задаче про стержень
По прошествии некоторого промежутка времени оказалось, что середина стержня сместилась на одинаковые расстояния по горизонтали и вдоль линии «падения воды». Во сколько раз изменился модуль скорости середины стержня за этот промежуток времени?
Решение. Рассмотрим плоскость, в которой лежит стержень. Проведем перпендикуляры к обеим скоростям. Пересечение – точка О – мгновенный центр скоростей. Проводим – медиану треугольника . Она равна половине гипотенузы.
Мгновенный центр вращения и все скорости
Гипотенуза
Длина отрезка
Скорость центра масс
Угол равен – равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Таким образом,
Определим составляющие скорости центра и :
По теореме о движении центра масс он движется с таким ускорением, с каким двигалась бы точка с массой, равной массе тела.
Ускорение есть только по оси :
По горизонтальной оси движение равномерное, .
А по оси движение равноускореннное:
Подставляем найденное ранее:
Таким образом,
Отношение скоростей
Ответ:
