Эти задачи разбирали с группой ребят летом. Решения выкладывала, начиная с августа и позднее. Лучше всего открыть рубрику “Олимпиадная физика”
// // Задача 1. Круглый вертикальный цилиндр радиусом прикреплен к горизонтальной плоскости.
Круглый цилиндр
Внизу с боковой поверхностью цилиндра соединена нерастяжимая нить длиной , направленная по касательной к поверхности цилиндра. На другом конце нити закреплена маленькая шайба. Шайбе сообщают горизонтальную скорость , направленную перпендикулярно нити, и шайба начинает скользить по плоскости. 1) Сколько времени будет продолжаться движение шайбы (наматывание нити на цилиндр) в отсутствие трения? 2) Сколько времени будет продолжаться движение шайбы при наличии трения между шайбой и плоскостью? Коэффициент трения равен .
Решение. Сначала рассмотрим ситуацию без трения. Сила натяжения нити все время перпендикулярна скорости, поэтому ее работа равна нулю. Если точка, в которой нить отделяется от цилиндра, сместится вследствие наматывания нити на угол , то и радиус, проведенный в эти точки, повернется на тот же угол. Пусть прошел малый промежуток времени, тело прошло , нить укоротилась на .
К задаче с цилиндром
   
   
   
Тогда
   
   
Интегрируем (суммируем) правую и левую части.
   
   
Теперь рассмотрим случай с трением. Тут могут быть две ситуации: шайба остановилась до полного наматывания нити и шайба остановилась, потому что вся нить намоталась. Скорость будет меняться. Тангенциальное ускорение постоянно.
   
   
   
Интегрируем справа и слева:
   
   
Получилось квадратное уравнение. Решим его.
   
Дискриминант не должен быть отрицательным:
   
   
Оба корня имеют смысл. Выбираем меньший.
При , то .
Ответ: при отсутствии трения , при наличии трения , если ; при .
// //  
Задача 2. Однородный цилиндр массы и радиуса касается двух параллельных длинных вертикальных пластин, движущихся с постоянными скоростями и вверх.
Рисунок ко второй задаче
Между пластинами и поверхностью цилиндра существует вязкое трение, сила его пропорциональна относительной скорости соприкасающихся поверхностей (). Коэффициенты вязкого трения для первой и второй пластин равны и соответственно. 1)Найдите установившуюся угловую скорость цилиндра , а также скорость его центра. 2) При каком условии цилиндр будет двигаться вверх?
Решение. Вязкое трение – функция скорости:
   
Переходим в систему отсчета цилиндра. В этой системе скорость его левой точки контакта с пластиной и скорость правой точки контакта равны по модулю:
   
А скорости пластин будут равны и . (смотри рисунок)
Силы в задаче 2
При установившемся движении сумма сил, приложенных к цилиндру, равна нулю, а также равен нулю суммарный момент сил трения относительно оси цилиндра, поэтому силы трения обязательно обе направлены вверх и они равны.
   
   
Распишем силы трения:
   
   
Приравниваем силы трения:
   
Вернемся к уравнениям равновесия:
   
   
   
   
Теперь подставим этот результат в (1):
   
   
   
   
   
Определяем :
   
   
   
   
Ответ: ;
.
// //