Сложная задача про шарик с тянущейся за ним веревкой.
// // Задача. Наполненный гелием воздушный шарик почти идеальной сферической формы, если его отпустить в безветренную погоду, будет подниматься вверх со скоростью, постепенно достигающей величины    м/с. Если привязать к нему кусок тонкой гибкой нерастяжимой однородной  веревки, то шарик сможет подниматься вверх, если длина куска не превышает см. К шарику привязали кусок такой же веревки длиной м и расстелили нижний конец веревки на горизонтальной поверхности. Коэффициент трения между веревкой и поверхностью . С какой скоростью будет в установившемся режиме  двигаться шарик с прикрепленной веревкой при ветре, дующем вдоль поверхности со скоростью м/с?
Задача про шарик
На какой высоте над поверхностью будет двигаться верхний конец веревки? Воздействием ветра на веревку пренебречь. Сила сопротивления воздуха, действующая на шар, пропорциональна квадрату его скорости относительно воздуха.
Решение. Отпускаем шарик в безветренную погоду:
   
   
Шарик в безветренную погоду
Пусть – линейная плотность веревки.
   
По второму закону Ньютона
   
   
Шарик с короткой веревкой поднимается
Пусть ветер вправо. Относительно ветра скорость шарика влево, поэтому сила сопротивления вправо. (Переходим в СО ветра).
Скорости ветра, шарика, шарика относительно ветра
Шарик с длинной веревкой
   
   
и  – в разных точках разные, так как веревка весомая.
   
   
– скорость шарика относительно ветра.
Силы на веревку
 
– масса провисающего куска веревки длиной 50 см.
   
   
   
Откуда и следует, что длина провисающего куска – 50 см.
   
Имеем, с одной стороны,
   
С другой
   
Разделим эти уравнения:
   
   
   
Но скорость ветра равна 2,5 м/с, значит, скорость шарика относительно земли 0,5 м/с. Получили противоречие. Значит, шарик в покое.
   
 
Теперь ответим на второй вопрос задачи.
Силы на веревку
Сила равна силе сопротивления – мы ее нашли ранее.
   
– масса веревки.
Разобьем веревку на малые отрезки и рассмотрим один из них.
Малый кусочек веревки
   
   
 
   
   
   
Перепишем:
   
Последнее слагаемое – – второго порядка малости, им можно пренебречь.
Имеем:
   
 
   
   
   
Переписываем:
   
Величина – второго порядка малости, пренебрежем ею.
   
 
Малая масса рассматриваемого кусочка равна
   
Малый угол определим из (1):
   
Подставим в последнее:
   
Домножим на :
   
   
   
   
Суммируя, получаем
   
   
 
Можно было воспользоваться методом виртуальных перемещений:
Метод виртуальных перемещений
Работа всех сил равна изменению энергии малого переносимого кусочка.
   
– масса переносимого кусочка, – его длина.
   
   
Приведем к окончательному ответу:
   
Ответ: нулевая скорость;