Несколько задач на кинематику я собрала в этой статье. Эти задачи мы решали с группой ребят, которых мне довелось готовить к олимпиадам.
//

//
Задача 1. За бегущей прямолинейно со скоростью  км/ч лисой гонится собака. Скорость собаки все время направлена на лису и равна км/ч. В некоторый момент времени скорость собаки оказалась перпендикулярной скорости лисы, а расстояние между ними стало равным  м. Найдите ускорение собаки в этот момент времени.
Решение. Нарисуем первоначальное положение лисы и собаки.
Расположение лисы и собаки в начальный момент
Теперь нарисуем положение лисы и собаки через очень небольшое время . Лиса прошла расстояние
   
– угол между прямой, соединяющей лису и собаку в начальный момент времени и прямой, соединяющей их через время .
Лиса и собака переместились
Скорость собаки по условию постоянна, но она поменяла свое направление – потому что ноc собаки все время направлен на лису. Когда бывает такое: скорость постоянна по модулю, но меняет  направление? Конечно, при движении по кругу. То есть собака перемещается по некоторой дуге окружности. Нарисуем воображаемый центр этой окружности и ее радиус.
Собака перемещается по дуге
Лиса из точки 1 переместилась в точку 2, собака – из точки 3 в точку 4. Радиус, соединяющий собаку с центром окружности, по которой она перемещается, повернулся на угол , и этот угол равен (как углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Так как момент времени мал, то, во -первых, мы можем записать равенство (1), во вторых, можем записать аналогично для собаки:
   
Откуда
   
Но из (1)
   
Значит, можно выразить :
   
Так как у собаки нет тангенциального ускорения, так как по дуге она движется с постоянной скоростью, то ее ускорение – только его нормальная составляющая, и оно равно
   
   
Ответ: ускорение собаки 1,27 м/с, направлено горизонтально вправо – туда же, куда направлена скорость лисы.
//

//
Задача 2. Палочка длины стоит на горизонтальной опоре около вертикальной стенки. На нижнем конце палочки сидит жук. В некоторый момент времени палочка начинает двигаться так, что ее нижний конец движется с постоянной скоростью по горизонтальной опоре, а верхний скользит вдоль стенки. В этот же момент жук начинает двигаться вдоль палочки с постоянной относительно палочки скоростью . На какую максимальную высоту над горизонтальной опорой поднимется жук?
К задаче 2
Решение. Пусть прошло время и жук переместился на расстояние , а нижний конец палочки тогда прошел расстояние . Отношение
   
Промежуточное положение жука
   
Высота, на которой окажется жук, пройдя расстояние , равна
   
Подставим время:
   
Максимальное значение синуса двойного угла – 1. При таком синусе высота тоже максимальна:
   
Ответ: .
//

//
Задача 3. На поверхности стола расположен неподвижный цилиндр радиуса . К некоторой точке цилиндра прикреплена невесомая нерастяжимая нить длиной , к концу которой привязано тело. Телу сообщают скорость , направленную перпендикулярно нити так, что нить начинает наматываться на цилиндр. Найти время, за которое половина нити намотается на цилиндр.
К задаче 3
Решение.
Пусть прошло очень малое время , и тело переместилось на расстояние
   
При этом точка, в которой нить отходит от цилиндра, тоже переместилась – пусть на расстояние – показано красным на рисунке.
Перемещение тела и нити
На рисунке угол показан большим, на самом деле он мал – угол , на который переместилось тело и нить, и, соответственно, радиус от центра цилиндра до точки, где нить от него отходит, тоже переместился на этот же угол. Так как угол этот мал, то можно записать
   
А
   
По тем же соображениям. Можно подставить:
   
Откуда
   
Суммируем левую часть от до , а правую суммируем от нуля до . Подробнее о суммировании здесь.
Получаем:
   
И, наконец, время:
   
Ответ: