Еще одна задача на кинематику. Мало физики – больше математики. Но это мое мнение.
//

//
Задача. Две дороги, прямая и кольцевая радиуса , имеют одну общую точку. В точке их касания стоят два автомобиля. Один из них начинает двигаться по прямой дороге равномерно со скоростью . Другой автомобиль двигается по кольцевой дороге так, чтобы все время находиться на отрезке, соединяющем первый автомобиль с центром кольцевой дороги. Определите величину ускорения второго автомобиля в тот момент, когда он прошел по кольцевой дороге дугу величины .
Рисунок к задаче
Решение. Разложим скорость первого автомобиля на две составляющие: перпендикулярную отрезку, соединяющему первый автомобиль с центром кольцевой дороги (), и совпадающую по направлению с этим отрезком ().
Получается, линейная скорость данного отрезка при его вращении равна , а угловая скорость равна
   
Такова же и угловая скорость второго автомобиля.
Две дороги – векторы скоростей
Его линейная скорость тогда
   
А его нормальное ускорение тогда
   
Так как
   
То понятно, что скорость уменьшается (числитель постоянен, знаменатель растет). То есть второй автомобиль замедляет свое движение по окружности – он имеет тангенциальную составляющую ускорения, причем она направлена против .
Пусть – уменьшение скорости второго автомобиля за промежуток времени .
По аналогии с (1), запишем новую скорость:
   
Выразим :
   
   
Пренебрегаем в числителе величиной – второго порядка малости.
   
А в знаменателе можно заменить сумму на , так как – мала.
//

//
Получим:
   
С другой стороны, – расстояние, пройденное со скоростью за время :
   
А тангенциальное ускорение второго автомобиля – это изменение его скорости за время :
   
Перепишем так:
   
   
Ну вот, теперь у нас есть обе составляющие ускорения, и мы можем найти его:
   
   
Ответ:
//

//