Задача с интересной идеей отражения.
//

//
Задача.  По гладкой горизонтальной поверхности скользит маленькая круглая шайба, не покидая треугольника, ограниченного неподвижными гладкими стенками. Удары шайбы о стенку абсолютно упругие, при попадании в угол шайба останавливается. В начальный момент времени шайба находится в точке посередине стороны треугольника и имеет скорость, направленную под углом к этой стороне ().Найдите все значения , при которых шайба попадет в угол , совершив не более шести столкновений со стенками.
Рисунок к задаче
Решение. Если удар абсолютно упругий, то угол падения равен углу отражения. Поэтому можно нарисовать для первого удара:
Первый удар
Более удобным будет отразить сам треугольник относительно той стороны, о которую ударилась шайба. Вот что получится:
Второй удар
Далее снова отразим треугольник, чтобы спрямить ход луча:
Третий удар
И так можно делать последовательно, следя за тем, где окажется отражение вершины – ведь нам надо попасть именно в нее. При данном ходе луча, изображенном  меня, попасть в вершину после 6 столкновений не удастся. Однако, если провести луч иначе (показано красным цветом), то мы как раз попадем в угол , соблюдя все условия задачи:
Четвертый удар
Шестой удар
В угол не попали
 
Попадание в угол
Можно попробовать нарисовать еще один рисунок, пустив шайбу под большим углом, чем на первых. Но лучше сначала нарисовать сетку из треугольников, определиться с отражениями точки , а потом проводить прямые, подсчитывая столкновения и определяя, сможем ли мы попасть в данную точку:
Попадание в угол при пуске шайбы под другими углами
Обратите внимание, красный ход луча – не реализуется, потому что шайба, идя по этому маршруту, попадет в угол и остановится раньше, чем достигнет точки .
И, наконец, определяем углы. Сначала рассчитаем угол с рисунка … в треугольнике . Если принять стороны треугольников равными 2 (для удобства, можем выбрать любые), то высота такого правильного треугольника равна
   
А тангенс угла будет равен
   
Теперь определим тангенсы углов для рисунка …. , синий луч:
   
И для оранжевого луча:
   
Ответ: , , .

от admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *