Сохранение импульса и энергии

Сохранение импульса и энергии

14.07.2021 0 Автор admin

Задачи пришли из хорошего лицея с учеником (впрочем, как обычно). Все задачи решались “энергетически”.
//

//
Задача 1.  Движение материальной точки массой 3 кг описывается уравнением .
Найдите модуль изменения кинетической энергии за первые 8 с от начала наблюдения за движением. Найдите модуль силы, вызвавшей это изменение.
Решение. Определим скорость. Для этого можно взять производную, а можно сопоставить данную нам формулу с «классической». Тогда понятно, что м/с, м/с.
Зависимость скорости от времени запишем как
   
Поэтому скорость в нулевой момент времени равна , а через 8 с – , откуда делаем вывод, что тело изменило направление движения и в конце данного отрезка времени «едет» в противоположную сторону. Это, однако, не помешает нам ни вычислить силу, ни определить изменение кинетической энергии.
   
Определим кинетическую энергию в начале:
   
А теперь в конце:
   
Разность кинетических энергий составила 576 Дж.
Ответ: разность кинетических энергий составила 576 Дж, сила равна 12 Н.
Задача 2. Из духового ружья стреляют в спичечный коробок, лежащий на расстоянии от края стола. Пуля массой , летящая горизонтально со скоростью , пробивает коробок и вылетает из него со скоростью . Масса коробка . При каких значениях коэффициента трения между коробком и столом коробок упадёт со стола?
Решение. Составим закон сохранения импульса:
   
Откуда
   
   
Чтобы коробок упал со стола, необходимо, чтобы его кинетическая энергия превысила бы работу против силы трения.
   
   
Если же кинетическая энергия коробка будет равна этой работе, то коробок застынет на самом краю стола:
   
Сокращаем на с обеих сторон:
   
   
Ответ: при коробок упадет.
Задача  3. Шарик, движущийся со скоростью по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик останавливается, а кубик начинает двигаться поступательно со скоростью Какая часть  первоначальной кинетической энергии шарика перешла в теплоту?
Решение: запишем закон сохранения импульса:
   
Откуда делаем вывод, что .
Кинетическая энергия шарика перешла в кинетическую энергию кубика, да часть выделилась в виде тепла:
   
   
   
   
Ответ: в тепло перешло 75% энергии.
//

//
Задача  4. Шарик, движущийся со скоростью по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик останавливается, а кубик начинает двигаться поступательно, причем в виде тепла выделилось 80% энергии шарика. Каково соотношение масс шарика и кубика?
Решение: по закону сохранения энергии
   
Так как , то
   
То есть
   
По закону сохранения импульса
   
Тогда
   
   
   
Откуда
   
.
Ответ: 5.
Задача  5. Шарик, движущийся со скоростью по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на лежащий неподвижно на той же поверхности кубик. После неупругого удара шарик останавливается, а кубик начинает двигаться поступательно со скоростью Какая часть  первоначальной кинетической энергии шарика перешла в теплоту?
Решение: запишем закон сохранения импульса:
   
Откуда делаем вывод, что .
Кинетическая энергия шарика перешла в кинетическую энергию кубика, да часть выделилась в виде тепла:
   
   
   
   
Ответ: в тепло перешло 66,6% энергии.
 
Задача 6. В опыте с «мертвой петлей» брусок массой отпущен с высоты ( – радиус петли). С какой силой давит брусок на опору в верхней точке петли?
К задаче 6
Решение. Воспользуемся законом сохранения энергии.
   
   
Получаем:
   
Или
   
Теперь запишем второй закон Ньютона для бруска вверху его траектории:
   
   
Ответ: брусок давит на плоскость с силой – своей силой тяжести.
//

//
Задача 7. Шарик массой подвешен на нити длиной , а шарик массой подвешен на нити длиной так, что шарики находятся на одной высоте и соприкасаются. Лёгкий шарик отклоняют на угол 90° и отпускают. На какой угол отклонится тяжелый шарик после абсолютно упругого удара?
К задаче 7
Решение:
Для малого шарика закон сохранения энергии
   
Откуда
   
При ударе по закону сохранения импульса:
   
Здесь – скорость большего шарика после отскока, – скорость меньшего.
Записываем закон сохранения энергии для столкновения шаров:
   
Подставляем из закона сохранения импульса:
   
   
   
   
   
   
   
   
Зная скорость большего шара, определяем угол отклонения:
   
   
   
Тогда
   
   
Ответ: отклонение составит 39 градусов.
 
Задача 8. Ребенок скатывается с горки на санках. Какую скорость будут иметь санки у подножья горы, если ее высота 15 м, угол наклона , а коэффициент трения линейно нарастает вдоль склона от нуля до у подножья?
Решение. Будем, как и остальные задачи в этой подборке, решать энергетически. Тогда
   
Здесь – работа против силы трения, – потенциальная энергия на вершине.
Весь путь санок можно записать как
   
При этом вначале , а в конце .
График зависимости силы трения от представлен на рисунке. Понятно, что площадь под ним  -это и есть работа.
Зависимость силы трения от пройденного расстояния
   
   
   
   
Ответ: 14 м/с