Те же уравнения моментов, те же уравнения условий равновесия – но к ним добавится сила Архимеда.
//

//
Задача 6. Цилиндр, разделенный на 4 равных сектора, плотности которых составляют , , , соответственно, может свободно вращаться вокруг центральной оси, проходящей через его центр. Цилиндр опускают в кювету с жидкостью, имеющей плотность до тех пор, пока уровень жидкости не достигает оси цилиндра. После чего цилиндр раскручивают, и он, сделав несколько оборотов, останавливается. Найдите для каждого сектора долю погруженной части.
Рисунок к задаче 6
Решение.
Центр масс цилиндра мы найдем с помощью формулы.
Определяем координаты центра тяжести
Давайте определим его координаты:
   
   
Если на втором рисунке провести линию, соединяющую точку начала координат с точкой центра масс, она будет иметь тангенс угла наклона, равный 3. Но, когда цилиндр отпустят, он остановится в таком положении, при котором центр масс и точка приложения силы Архимеда окажутся на одной вертикали. А так как цилиндр симметричный, точка приложения силы Архимеда и центр диска тоже расположены на одной вертикали. То есть цилиндр повернется таким образом, что проведенный нами отрезок, соединяющий центр масс и центр цилиндра, повернется и установится вертикально.
   
   
Нарисуем новое положение цилиндра:
Новое положение цилиндра при равновесии
Видно, что самый плотный сектор погружен на 100%, сектор плотностью – не погружен (0%). Сектор плотностью погружен на   – это составляет 79,6%. А наименее плотный сектор будет погружен на 20,4%.
Ответ: сектор плотностью погружен на 100%, сектор плотностью – не погружен (0%). Сектор плотностью погружен на 79,6%. А наименее плотный сектор будет погружен на 20,4%.
//

//
Задача 7. Легкий сосуд с жидкостью плотности кг/м
стоит на двух симметричных опорах. Над одной из них внутри сосуда привязан ко дну полностью погруженный в жидкость поплавок объемом
см и плотностью кг/м. Над другой опорой висит привязанный снаружи шарик того же объема и втрое большей плотности. Найдите модуль разности сил реакции опор.
К задаче 7
Решение.
Отметим точку – центр сосуда. Относительно этой точки составим уравнение моментов:
   
   
Запишем также уравнение равновесия по второму закону Ньютона:
   
Сопоставляем два уравнения:
   
   
Ответ: 70 мН.
 
Задача 8. В систему, находящуюся в равновесии, входят рычаг, кювета с жидкостью, тело массы кг , подвешенное на нити, перекинутой через блок, и противовес. В результате удлинения нити тело оказывается наполовину погруженным в жидкость. На какую величину следует изменить массу противовеса, чтобы сохранить равновесие системы? Плотности жидкости и погруженного в нее тела равны. Постройте график зависимости изменения массы противовеса от доли погруженного объема тела.
К задаче 8
Решение.
Нарисуем первоначальную расстановку сил:
Расстановка сил в задаче 8
Сила давления со стороны дна сосуда приложена к центру дна сосуда. Так как  , то после погружения сила натяжения нити уменьшается вдвое: ведь появилась сила Архимеда, которая в силу равенства плотностей тела и жидкости равна :
   
   
Когда тело погружается и возникает сила Архимеда, то по третьему закону Ньютона такая же сила начинает действовать со стороны жидкости на дно. Поэтому правило моментов для правого рисунка относительно точки опоры:
   
Формула представляет собой разность двух уравнений по правилу моментов: составляем уравнение моментов для левого рисунка, затем для правого и вычитаем их друг из друга. В левой части формулы – изменения, связанные с изменением массы. В правой части формулы изменения, связанные  с изменением силы натяжения нити и возникновением силы Архимеда, а она изменила силу давления на дно.
   
   
Если погрузить все тело, то нить ослабнет и уравнение моментов станет таким:
   
   
   
График представлен на рисунке:
График зависимости массы перегрузка от доли погруженной части правого груза
Ответ:
 
//

//
Задача 9. Тонкий стержень постоянного сечения состоит из двух частей. Первая из них имеет длину см и плотность г/см, вторая –плотность г/см . При какой длине второй части стержня он будет вертикально плавать в воде?
К задаче 9
Решение. Условие плавания стержня:
   
   
   
   
   
   
Здесь – глубина подводной части (к ее центру будет приложена сила Архимеда).
Откуда следует, что .
Чтобы стержень находился в вертикальном положении, да еще устойчивом, необходимо, чтобы возникал момент, который будет возвращать стержень в вертикальное положение, если его немного отклонить.
Сила тяжести приложена к центру тяжести стержня. Его координата может быть определена как
   
   
Точка приложения силы Архимеда
   
Уравнение моментов, вернее, неравенство, с тем, чтобы стержень возвращался в вертикальное положение:
   
Откуда
   
   
   
   
   
Значит,
   
Ответ: вторая часть стержня длиннее 10 см и менее 30 см.
 

от admin

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *