Определение АЧХ и ФЧХ, качественно и аналитически – 1

08.07.2021 0 Автор admin

Сегодня определяем амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики цепи. Сначала сделаем это качественно, а потом строго, аналитически.
//

//
Задача.  Для цепи на рисунке определить ФЧХ, АЧХ, построить графики.
Схема к задаче
Решение: сначала рассмотрим цепь на частоте ноль:
   
При этом
   
Поэтому эквивалентная схема будет такой:
Эквивалентная схема на нулевой частоте
Определим выходное напряжение. Сопротивление будет равно
   
А выходное напряжение
   
Комплексная частотная характеристика – это по определению отношение комплексных амплитуд выходного и входного сигналов. А комплексные амплитуды связаны так же, как и их мгновенные значения.
   
Таким образом,
   
Это комплексная частотная характеристика в нуле. АЧХ в нуле – модуль этой дроби:
   
А ФЧХ – аргумент этой дроби:
   
Теперь устремим частоту к бесконечности. При этом индуктивное сопротивление тоже устремится к бесконечности. Поэтому схема замещения будет такой:
Эквивалентная схема на частоте, стремящейся к бесконечности
Выходное напряжение
   
Комплексная частотная характеристика
   
АЧХ тогда
   
А ФЧХ
   
Можно построить примерные графики:
Качественно построенные АЧХ и ФЧХ
//

//
Теперь построим векторную диаграмму. Построим ток через резистор – . Этот ток совпадает по направлению с направлением вектора напряжения . А напряжение на индуктивности отстает от этого тока на .
Начало построения векторной диаграммы
Входное напряжение – сумма напряжений   и . И с этим напряжением совпадает по фазе ток – ток в резисторе . А ток источника – сумма токов и по закону Кирхгофа:
Полная векторная диаграмма
Видно, что ток источника отстает от вектора напряжения на угол .
Мы решили задачу качественно. Решим ее теперь аналитически. Комплексная частотная характеристика – это по определению отношение комплексных амплитуд выходного и входного сигналов. То есть
   
А это, по сути, сопротивление (полное, общее) обеих ветвей. Давайте его определим.
   
Если источник разомкнуть (холостой ход), то получится цепь, в которой и соединены последовательно. Постоянная времени такой цепи
   
А отношение
   
Поэтому
   
   
   
Модуль этой дроби
   
   
   
   
   
   
   
//

//
Определить фазо-частотную характеристику легко, если вспомнить вот эту запись:
   
Два комплексных числа делятся друг на друга, при этом степени (аргументы) вычитаются:
   
Так как , то понятно, что , то есть угол .