Ох, и сложные задачи, нагруженные математикой…
//

//
Задача 6. Шар висит на нити, опираясь о стенку, центр шара лежит на одной вертикали с точкой подвеса, нить образует с вертикалью угол , а радиус, проведенный в точку крепления нити, перпендикулярен нити.
К задаче 6
При каких значениях коэффициента трения шара о стену такое равновесие возможно?
Решение. По теореме о трех непараллельных силы должны пересечься в одной точке – это будет точка .
К задаче 6 – расстановка сил
В треугольнике
   
Ответ: равновесие возможно при .
 
Задача 7. Лестница опирается на вертикальную стену и пол.
К задаче 7
При каких значениях угла между лестницей и полом она может стоять, если коэффициенты трения лестницы о пол и о стену равны и .
Решение.
Задача с лестницей
Аналогично предыдущей задаче
   
   
Пусть лестница стоит под таким углом, что вот-вот соскользнет – .
По теореме синусов для треугольника
   
Выразим и :
   
   
Подставляем теперь в теорему синусов:
   
   
   
Раскрываем синус и косинус суммы:
   
Делим почленно:
   
Подставляем вместо тангенсов коэффициенты трения:
   
   
Ответ:
//

//
Задача 8. Человек медленно поднимает за один конец, лежащий на полу стержень, прикладываю к нему силу, перпендикулярную стержню.
К задаче 8
При каком минимальном коэффициенте трения между стержнем и полом человек сможет поставить стержень вертикально?
Решение. Чтобы сила трения была минимальной – и, значит, коэффициент трения тоже, сила должна быть максимальной – это следует из уравнения моментов относительно, например, центра стержня.
Для уравнения моментов
   
   
Чтобы стержень не скользил, должно выполняться условие:
   
   
   
Определим максимум этой функции, придется брать производную:
   
   
   
   
Раскрываем скобки:
   
   
   
   
   
   
Теперь подставим найденные синус и косинус в выражение для :
   
Ответ: .
 
Задача 9. На горизонтальной поверхности стоит куб массой .
К задаче 9
С какой минимальной силой и под каким углом к горизонту надо тянуть этот куб за верхнее ребро, чтобы он начал опрокидываться без проскальзывания, если коэффициент трения куба о плоскость равен ?
Решение. Пусть куб опирается на свой правый нижний угол, будучи готовым опрокинуться. Сила реакции опоры будет приложена как раз к этому углу.
Куб и силы на него
Решение.
   
   
Уравнение моментов составим относительно точки приложения силы :
   
– ребро куба.
   
Из первого получаем
   
Из первого
   
Из второго
   
Делим друг на друга эти уравнения:
   
Тогда
   
При получаем . В этом случае .
В случае, если , воспользуемся формулой
   
Из нашего неравенства (1) имеем
   
   
   
   
   
При таком косинусе получим
   
Ответ:   при ; при .
//

//
Задача 10. Некоторые виды лягушек способны ползать по стенам и потолку при помощи специальных присосок на лапках. Эти присоски обеспечивают силу «прилипания» , перпендикулярную поверхности. Пусть такая лягушка массой г может обеспечить силу «прилипания» не больше . Чему должно быть равно значение , чтобы при любом угле наклона стенки лягушка могла бы располагаться на ней неподвижно, если коэффициент трения лап о стену равен ?
Решение.
Сделаем рисунок. Сила – это сумма сил реакции и трения. Тогда можно изобразить силы на лягушку так:
Лягушка на стенке
Сила – минимальная сила, которая позволяет лягушке не соскальзывать. Вектор – фиксированной длины и направления. Векторы и могут менять свои направления в зависимости от того, как расположена стена. Но! Угол между этими векторами всегда один и тот же – – так как это тот предельный угол, который обеспечивает то, что лягушка на грани соскальзывания, но еще держится.
Оставим только силы на лягушку
 
Составим треугольник из сил
Поскольку угол постоянен – то он вписанный. Тогда – хорда этой окружности, а любая хорда меньше диаметра. По теореме синусов
   
   
 
рассмотрим треугольник, у которого катеты относятся как :
Треугольник с тангенсом угла, равным коэффициенту трения
У такого треугольника
   
Тогда
   
Ответ: